מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

Σχετικά έγγραφα
{ : Halts on every input}

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

מבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

gcd 24,15 = 3 3 =

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

מודלים חישוביים תרגולמס 5

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

רשימת בעיות בסיבוכיות

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

logn) = nlog. log(2n

בעיות חשיבות: :(State transition system) STS מושגים: רדוקציה: f אינה חשיבה g אינה חשיבה; בבעיות הכרעה: f לא כריעה g לא כריעה.

מודלים חישוביים כריעות R זוהי מחלקת השפות הכריעות. מחלקה זו סגורה תחת פעולת המשלים. רדוקציה בעיית ההכרעה רדוקציית מיפוי.

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

תרגול פעולות מומצאות 3

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

co ארזים 3 במרץ 2016

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

A-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y


ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

רשימת משפטים והגדרות

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

, נתונה קבוצה של זוגות מותרים של צבעים בפרק זה נתמקד בשני מקרים מיוחדים של בעית צביעתו של גרף עם אילוצים

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

הרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?

2 שאלות )בחירה מ - 4( סה"כ 25 נקודות לכל שאלה 22 נקודות

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

קושי של קירובים עפ"י הרצאות של ד"ר גיא קינדלר סמסטר א', תש"ע

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

מודלים חישוביים תרגולמס 7

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

r. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

Transcript:

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך הבחינה: שלוש שעות. 3. חומר עזר מותר: שני דפי פוליו (דו צדדיים) בלבד עם שם התלמיד/ה. 4. יש לענות על כל השאלות במקום המיועד לכך בטופס השאלון (טופס זה). מחברות הבחינה לא ייקראו, וישמשו כטיוטא בלבד. 5. יש למלא בכל דף של השאלון מספר ת.ז ומספר מחברת. 6. במבחן יש 6 שאלות פתוחות: יש לענות על השאלות במקום המיועד לכך בטופס השאלון. במידה ואינכם יודעים תשובה לשאלה, ניתן לענות ''אינני יודע/ת'' ולא להוסיף שום הסבר. על סעיף זה יינתנו 20% מהנקודות. יש לענות תשובות ברורות, עינייניות, תמציתיות וקריאות. תשובות שיחרגו משמעותית מהמקום המוקצב עלולות לגרום להורדת נקודות. 7. מותר להשתמש בכל טענה שהוכחה בכיתה (בהרצאה, בתרגול או בתרגיל בית) בתנאי שמצטטים אותה במדויק. טענות אחרות (כאלה שהוכחו בספר, בהרצאות מהסמסטר הקודם, וכו') יש להוכיח..8 אלא אם נאמר אחרת, הניחו כי,NP CoNP,P NP וכן 1} {0, =.Σ בהצלחה, וחופש נעים! 6 5 4 3 2 1 סה''כ

.1 יהיו > 0,a b 0 מספרים קבועים שלמים. נגדיר b}.l ab = {0 n 1 m m an + הערה: בכל אחד מהסעיפים הבאים (לא חובה בשניהם), ניתן לענות עבור המקרה ש = 0 b ולקבל חצי מהניקוד. (א) (5 נקודות) הוכיחו בקצרה כי L ab ח''ה (אם מתארים אוטומט, אין לכתוב פונ' מעברים). (ב) (10 נקודות) הוכיחו כי L ab אינה רגולרית. נראה כי L ab אינה רגולרית (והטענה נובעת מתכונת סגירות של שפות רגולריות תחת משלים)..L ab = {0 n 1 m m = an + b} נניח כי זו שפה רגולרית, לכן קיים לה קבוע ניפוח p. נסתכל על המילה w = 0 p 1 ap+b L ab וכן. w p תהי חלוקה w = xyz כך ש > 0 k y = וגם. xy p לכן, y מכיל רק 0 ים. נסתכל על.w 0 = xy 0 z = 0 p k 1 ap+b מתקיים: a(p k) + b = ap + b ak < ap + b ולכן.w 0 / L ab

.2 15) נקודות) נגדיר את השפה: L = { M 1, M 2 M 1 / L(M 2 ) M 2 / L(M 1 ) מ''ט ומתקיים M 1, M 2 } הוכיחו לאיזו מבין המחלקות הבאות L שייכת? (א).L R (ג).L CoRE \ R (ב).L RE \ R (ד).L / RE CoRE.L CoRE \ R :L = { M 1, M 2 M 1 L(M 2 ) M 2 L(M 1 )} RE (1) נבנה מ''ט עבור השפה L: המכונה תריץ במקביל את M 1 על הקלט 2 M ואת M 2 על הקלט 1 M Mapping Reduction f from A T M to L On input M, w (a) Construct a TM M 2 such that L(M 2 ) = Σ (b) Construct a TM M 1 : M 1 = On input x: 1. Run M on w 2. If M accepts, accept; If M rejects, reject (c) Return M 1, M 2 ותקבל אם שתי המכונות קיבלו. :L / R (2) נראה רדוקציה מ A. T M נכונות: אם, M, w A T M אז M לא מקבלת את w ולכן = ) 1.L(M לכן = ) 1. M 1, M 2 L M 2 / L(M אם, M, w / A T M אז M מקבלת את w ולכן Σ.L(M 1 ) = לכן Σ M 2 L(M 1 ) = וגם Σ. M 1, M 2 / L M 1 L(M 2 ) = פתרון נוסף: נקבע את M 2 להיות מכונה כלשהי שמקבלת את Σ, נקרא למכונה זו.ALL L = { M 1 ALL / L(M 1 )} אזי הבעיה הופכת להיות וזו שפה לא כריעה ממשפט רייס.

.3 15) נקודות) נגדיר את השפה: L = { M, k L(M) k מ''ט ומתקיים M} הוכיחו לאיזו מבין המחלקות הבאות L שייכת? (א).L R (ג).L CoRE \ R (ב).L RE \ R (ד).L / RE CoRE.L RE \ R :L RE (1) נבנה מ''ט עבור השפה L: המכונה תריץ את M על כל המילים ב Σ בצורה מבוקרת (כלומר, באיטרציה ה i, i צעדים על i המילים הראשונות) ותקבל אם מספר המילים ש M קיבלה k. Mapping Reduction f from E T M to L On input M (a) Return M, 1 :L / R (2) נראה רדוקציה מ } L(M).E T M = { M נכונות: אם, M E T M אז L(M) ולכן M מקבלת לפחות מילה אחת.. M, 1 L אם, M / E T M אז = L(M) ולכן M לא מקבלת אף מילה.. M, 1 / L L = { M L(M) 1} פתרון נוסף: נקבע = 1.k אזי הבעיה הופכת להיות וזו שפה לא כריעה ממשפט רייס.

QE = מערכת של m משוואות ריבועיות ב { n משתנים.x 1,..., x n מקדמי המחוברים הם מספרים שלמים..4 25) נקודות) נגדיר את השפה: } קיימת הצבה x 1,..., x n {0, 1} המספקת את כל המשוואות. משוואה ריבועית היא משוואה עם מספר מחוברים, שכל אחד מהם הוא מספר שלם, משתנה או מכפלה של שני משתנים. לדוגמא: x 1 + x 2 x 3 + x 7 + x 2 x 5 + x 2 3 + x 5 x 2 = 1 (א) (5 נקודות) הוכיחו כי.QE NP העד הוא ההצבה 1} {0, n x 1,..., x שאורכה n ביטים. המוודא מציב ובודק כי כל המשוואות מתקיימות (זמן פולינומיאלי באורך הקלט). (ב) (20 נקודות) הוכיחו כי QE היא NP קשה. הדרכה: הראו רדוקציה מ.3Col לכל צומת v i בגרף, הגדירו שלושה משתנים.x i, y i, z i לפי ההדרכה, נבנה רדוקציה מ.3Col עבור קלט G נבנה מערכת משוואות בצורה הבאה. לכל צומת v i בגרף, נגדיר שלושה משתנים.x i, y i, z i נגדיר את המשוואות הבאות: לכל צומת,v i נגדיר את המשוואה: = 1 i x i + y i + z לכל קשת ) j,(v i, v נגדיר את המשוואות: = 0 j x i x y i y j = 0 z i z j = 0 נכונות: הרדוקציה חשיבה ופול'. נניח כי הגרף 3 G צביע. אזי כל צומת בגרף צבוע באדום, כחול או צהוב, כך שאין זוג צמתים שכנים שצבועים באותו צבע. נגדיר השמה V עבור מערכת המשוואות באופן הבא: עבור צומת,v i אם צבעו אדום, = 0 ) i V (x i ) = 1, V (y i ) = 0, V (z אם צבעו כחול, = 0 ) i V (x i ) = 0, V (y i ) = 1, V (z אם צבעו צהוב, = 1 ) i V (x i ) = 0, V (y i ) = 0, V (z נראה כי זו השמה מספקת: לכל צומת,v i מתקיים = 1 i :x i + y i + z כיוון שההשמה מגדירה בדיוק אחד מהמשתנים ל 1, ואת שני המשתנים הנותרים ל 0.

לכל קשת ) j,(v i, v מתקיים = 0 j x i x y i y j = 0 z i z j = 0 כיוון שאם למשל 0 j x i x אזי = 1 ) j.v (x i ) = V (x אבל זה גורר ש v i ו v j נצבעו שניהם באדום. תהי V הצבה מעל {1,0} שמספקת את כל המשוואות. נראה כי 3 G צביע. כיוון ש V מספקת את כל הנוסחאות מהצורה = 1 i V,x i + y i + z חייבת להגדיר בדיוק אחד מהמשתנים ל 1, ואת שני המשתנים הנותרים ל 0. נגדיר צביעה לקודקודי G באופן הבא: אם = 1 ) i, V (x נצבע את v i באדום. אם = 1 ) i, V (y נצבע את v i בכחול. אם = 1 ) i, V (z נצבע את v i בצהוב. נראה שזו צביעה חוקית. כלומר, שלכל קשת ) j (v i, v צבעי הקודקודים v i, v j שונה. תהי קשת ) j v) i, v כלשהי. כיוון ש V מספקת את כל הנוסחאות, בפרט היא מספקת את: = 0 j x i x y i y j = 0 z i z j = 0 לכן, לא ייתכן כי = 1 ) j V (x i ) = V (x (וכנ''ל לשני המשתנים הנותרים). לכן לפי הגדרת הצביעה, שני הקודקודים צבועים בצבעים שונים..5 10) נקודות) הוכיחו / הפריכו: קיימת שפה רגולרית שהיא NP שלמה NP P. = הוכחה: (= ) כל שפה רגולרית היא ב P (אפילו לינארית). לכן, נניח שקיימת שפה L רגולרית שהיא NP שלמה. תהי.L NP אזי יש רדוקציה ל L L p ולכן.L P וקיבלנו. P = NP ולכן NP P ( =) טענה: אם P = NP אזי כל שפה לא טריוויאלית ב P היא NP שלמה. הוכחה: תהי שפה.L Σ,,L P נראה כי L היא NP שלמה..L P = NP נותר להראות כי L היא NP קשה. יהיו x L, y / L ותהי.L P = NP אזי קיימת רדוקציה :L p L עבור קלט w, נבדוק האם L w בזמן פול'. אם כן, נחזיר x, אחרת, נחזיר y. לכן, למשל {0} היא שפה רגולרית NP שלמה.

6. נגדיר מחלקת שפות: DP = {L Σ L 1 NP, L 2 CoNP. L = L 1 L 2 } ונגדיר את השפה: 4Not3Col = { G גרף 4 צביע ולא 3 צביע G} (א) (5 נקודות) הוכיחו כי 4Not3Col DP ניקח G} NP גרף 4 צביע { G L 1 = ו G} CoNP גרף לא 3 צביע { G L 2 = (ב) (10 נקודות) הוכיחו כי 4Not3Col היא NP קשה נראה רדוקציה מ.3Col בהנתן גרף G נבנה גרף G באופן הבא: נוסיף קודקוד חדש v ל G ונחבר אותו ליתר הקודקודים. כמו כן, נוסיף קליק בגודל 4 (מנותק מיתר קודקודי הגרף). נכונות: הרדוקציה חשיבה ופול'. נניח כי 3 G צביע. אזי G 4 צביע, ע''י כך שנצבע את הקודקוד v בצבע חדש, ואת הקליק כל קודקוד בצבע אחר. כמו כן, G אינו 3 צביע, כיוון שחייבים 4 צבעים שונים על מנת לצבוע את קודקודי הקליק. נניח כי G 4 צביע ולא 3 צביע. נשים לב כי v חייב להיות בצבע שונה מכל קודקודי G (כיוון שהוא מחובר לכולם). לכן, קודקודי G צבועים באופן חוקי ע''י 3 צבעים. פתרון נוסף: נראה רדוקציה מ 4Col (ראינו בתרגיל בית כי 4Col היא NP שלמה). בהנתן גרף G נבנה גרף G באופן הבא: נוסיף ל G קליק בגודל 4 (מנותק מיתר קודקודי הגרף). נניח כי 4 G צביע. אזי G 4 צביע, ע''י כך שנצבע את הקליק כל קודקוד בצבע אחר. כמו כן, G אינו 3 צביע, כיוון שחייבים 4 צבעים שונים על מנת לצבוע את קודקודי הקליק. נניח כי G 4 צביע ולא 3 צביע. בפרט נקבל כי 4 G צביע.

(ג) (5 נקודות) הוכיחו:.NP = CoNP = DP = NP CoNP נניח כי.DP = NP CoNP אזי.4Not3Col CoNP כמו כן, 4N ot3col היא N P קשה (מסעיף ב'). לכן, תהי L, N P אזי.L p 4Not3Col כיוון שלפי הנחה,4Not3Col CoNP נקבל ש.L CoNP כלומר קיבלנו.NP CoNP וראינו בתרגול שזה גורר.NP = CoNP פתרון נוסף: נשים לב כי,NP DP לכן אם DP = NP CoNP נקבל NP NP CoNP CoNP ולכן.NP = CoNP